Kurzfassung
Die Suche nach Majorana-Nullmoden ist seit Jahren eine der großen Unternehmungen der Festkörperphysik, da sie potenziell vielversprechende Anwendungen in fehlertoleranten Quantencomputern besitzen. Auf der Theorieseite kommen Tight-Binding-Modelle mit Magnetismus, Rashba-Spin-Bahn-Kopplung und s-Wellen-Supraleitung vielfach zum Einsatz, da sie alle Zutaten beinhalten, die für die experimentelle Realisierung von Majorana-Nullmoden notwendig sind. In dieser Arbeit betrachten wir ein solches Modell und adaptieren es für die Anwendung auf eine Vielzahl von Problemen und Geometrien, während wir seinen Kern unverändert lassen. Wir untersuchen die magnetischen Grundzustände dieses Modells in ein und zwei Dimensionen und entdecken einen überraschend vielseitigen magnetischen Phasenraum. In einer Dimension zeigen wir durch magnetisch selbstkonsistente Rechnungen, dass in einem großen Anteil des Parameterraums Spinspiralen und elektrisch nicht-triviale Zustände natürlich koexistieren. Wir entwickeln eine rechnerisch hocheffiziente Methode zur Ermittlung der magnetischen Grundzustände von Tight-Binding-Modellen durch angenäherte klassische Spin-Modelle, die nicht inherent durch Annahmen limitiert sind. Beispielsweise ist das Tight-Binding-Modell im Gegensatz zu der verbreiteten RKKY-Methode nicht auf schwache magnetische Austauschterme limitiert. Darüber hinaus bietet unsere Methode durch das genäherte klassische Modell zusätzliche Einsichten in die magnetischen Kräfte innerhalb des Systems. Mit dieser Methode charakterisieren wir die magnetischen Grundzustände im vollständigen Parameterraum unseres 2D-Modells und entdecken auch hier einen Reichtum an exotischen magnetischen Phasen trotz der scheinbaren Simplizität des zugrundeliegenden Tight-Binding-Modells. Aufgrund der großen Menge an Datenpunkten und der Komplexität der magnetischen Phasen, nutzen wir ein künstliches neuronales Netzwerk zur Unterstützung bei der Klassifizierung der magnetischen Phasen. Damit demonstrieren wir die Nützlichkeit von künstlichen neuronalen Netzwerken als Werkzeug zur Sortierung von magnetischen Grundzuständen. Darüber hinaus liefern wir unterstützende Rechnungen zu der ersten experimentellen Messung simultaner Nullmoden an beiden Enden einer atomaren Kette, einen Meilenstein auf der Suche nach Majoranas. In dem Experiment wurde eine atomare Mn-Kette auf Nb(110) in der [11̄0]-Richtung konstruiert, um hybridisierende Yu-Shiba-Rusinov-Zustände hervorzurufen. Um dies zu modellieren, erweitern wir unser Modell auf drei Dimensionen. Mit unserem Modell sind wir in der Lage vorherzusagen, ab welcher Kettenlänge sich die Nullmoden zu gut isolierten Majorana-Nullmoden entwickeln, und zeigen darüber hinaus, wie essentiell die Rashba-Spin-Bahn-Kopplung dabei ist. Abschließend präsentieren wir ein geometrisch korrektes Modell von Experimenten zu Zuständen innerhalb einer Ag-Box auf einer Ag-Insel auf supraleitendem Nb. Durch diese Experimente wurden erstmalig energetisch scharfe, nicht-magnetische Zustände innerhalb einer supraleitenden Lücke gezeigt, wodurch die theoretischen Vorhersagen von Machida und Shibata von 1972 zu spin-entarteten Andreev-Bound-States bestätigt wurden.
The search for Majorana zero modes has been a major undertaking in the field of solid state physics in recent years, as they have potentially promising applications in fault-tolerant quantum computing. On the theory side, tight-binding models combining magnetism, Rashba spin-orbit coupling, and superconductivity have been on the forefront of this quest. They feature all ingredients necessary for experimental realization of Majorana zero modes. In this thesis, we take such a model, adapt and apply it to vastly different problems and geometries, while leaving its core intact. We explore its magnetic ground state in one and two dimensions, showing a surprisingly rich magnetic phase space. By self-consistently calculating the magnetic ground states before identifying electronic topological phases, we demonstrate in one dimension that, for a significant portion of the phase space, spin-spirals and topologically non-trivial states naturally coexist. We develop a computationally highly efficient approach to find the magnetic ground states of tight-binding models with a fitted classical spin model that is not inherently limited by assumptions, like RKKY being limited to weak magnetic couplings, and also grants additional insight into the driving magnetic forces of the system. With this method, we completely characterize the magnetic parameter space of our two-dimensional tight-binding model, showing that also 2D systems feature a rich magnetic phase diagram with many exotic magnetic phases despite the simplicity of the model at first glance. As the amount of data points is quite large and the magnetic phases are too complex to be classified by a simple algorithm, we employ an artificial neural network to classify the magnetic phases, thereby demonstrating that artificial neural networks can be a useful tool for the classification of magnetic ground states. Additionally, we provide theoretical support for the first experimental measurement of simultaneous zero-bias-peaks at both ends of an atomic chain, which marks a milestone in the search for Majoranas. In the experiment, an atomic Mn chain was constructed on Nb(110) in the [11̄0]-direction to build hybridizing Yu-Shiba-Rusinov states in a bottom-up approach. To model this, we adapt our tight-binding model to three dimensions. Replicating the experimental geometry, we are able to predict the chain length at which the found zero-modes are expected to evolve into isolated Majorana zero modes and demonstrate the crucial role of the strength of Rashba spin-orbit coupling. Finally, we provide a geometrically correct model for experiments on quantum dots caged by a box of Ag adatoms on a Ag island on superconducting Nb. With these experiments, the existence of energetically sharp non-magnetic in-gap states has been shown for the first time. This confirms theoretical predictions of Machida and Shibata on spin-degenerate Andreev bound states from 1972.